2013年北京高考数学（文）真题及答案

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2013年北京高考数学（文）真题及答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学（文）

本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

                                                        第一部分 （选择题 共40分）

一、  选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1≤x<1｝,则A∩B=             (   )

         （A）｛0｝                （B）｛-1，,0｝      （C）{0，1}         （D）｛-1，,0，1}

（2）设a,b,c∈R,且a<b,则                                    (       )

         （A）ac>bc          （B） <                  （C）a²>b²          （D）a³>b³

（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是

（A）y=                                           (B)y=e^-3        

（C）y=x²+1                (D)y=lg∣x∣

（4）在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于

（A）第一象限            （B）第二象限

（C）第三象限            （D）第四象限

（5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA= ,则sinB

（A）                    （B）

（C）                    （D）1

（6）执行如图所示的程序框图，输出的S值为

                                                                                                                                  

         （A）1

         （B）                                                                                               

         （C）

         （D）

（7）双曲线x²- =1的离心率大于 的充分必要条件是

         （A）m＞                                （B）m≥1

         （C）m大于1                           （D）m＞2

(8)如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为对角线BD₁的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有

（A）3个    （B）4个

（C）5个    （D）6个

 

 

                                      

 

 

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线y₂=2px的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____

(10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积 为__________.

 

(11)若等比数列｛an｝满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=__________;前n项sn=_____.

(12)设D为不等式组 ，表示的平面区域，区域D上的点与点（L，0）之间的距离的最小值为___________.

(13)函数f（x）= 的值域为_________.

 

（14）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D由所有满足AP  =λAB+μAC  （1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为__________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数f（x）=（2cos²x-1）sin2x= cos4x.

（1）    求f（x）的最小正周期及最大值

（2）    （2）若α∈（ ，π）且f（α）= ，求α的值

 

 

(16)(本小题共13分)

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天。

 

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率

（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率。

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

 

 

 

17.（本小题共14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD;

（Ⅱ）BE∥平面PAD

（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD.                            

                                                        

 

 

（18）（本小题共13分）

         已知函数f(x)=x²+xsin x+cos x.

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。

（Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b的取值范围。

（19）（本小题共14分）

         直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W: +y²相交与A，C两点，O为坐标原电。

（Ⅰ）当点B的左边为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。

（20）（本小题共13分）

给定数列a₁，a₂，…，a_n。对i-1，2，…n-l，该数列前i项的最大值记为A_i，后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n的最小值记为B_i，d_i=n_i-B_i.

（Ⅰ）设数列{a_n}为3，4，7，1，写出d₁，d₂，d₃的值.

（Ⅱ）设a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d₁，d₂，…d_n-1是等比数列。

（Ⅲ）设d₁，d₂，…d_n-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：a₁，a₂，…，a_n-1是等差数列。

 

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