判断充分与必要条件的方法

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判断充分与必要条件的方法

一、 定义法

可以简单的记为箭头所指为必要，箭尾所指为充分.在解答此类题目时，利用定义直接推导，一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义.

例1 已知p：-2

分析 条件p确定了m，n的范围，结论q则明确了方程的根的特点，且m，n作为系数，因此理应联想到根与系数的关系，然后再进一步化简.

解 设x1，x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根，即0

而对于满足条件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并无实根，所以pq.

综上，可知p是q的必要但不充分条件.

点评 解决条件判断问题时，务必分清谁是条件，谁是结论，然后既要尝试由条件能否推出结论，也要尝试由结论能否推出条件，这样才能明确做出充分性与必要性的判断.

二、 集合法

如果将命题p，q分别看作两个集合A与B，用集合意识解释条件，则有：①若A?哿B，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件;②若A?芴B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件;③若A=B，则x∈A和x∈B互为充要条件;④若A?芫B且A?芸B，则x∈A和x∈B互为既不充分也不必要条件.

例2 设x，y∈R，则x2+y2<2是|x|+|y|≤的条件，是|x|+|y|<2的条件.

A. 充要条件 B. 既非充分也非必要条件

C. 必要不充分条件?摇D. 充分不必要条件

解 如右图所示，平面区域P={(x，y)|x2+y2<2}表示圆内部分(不含边界);平面区域Q={(x，y)||x|+|y|≤}表示小正方形内部分(含边界);平面区域M={(x，y)||x|+|y|<2}表示大正方形内部分(不含边界).

由于(，0)?埸P，但(，0)∈Q，则P?芸Q.又P?芫Q，于是x2+y2<2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要条件，故选B.

同理P?芴M，于是x2+y2<2是|x|+|y|<2的充分不必要条件，故选D.

点评 由数想形，以形辅数，这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现.数形结合不仅能够拓宽我们的解题思路，而且也能够提高我们的解题能力.

三、 逆否法

利用互为逆否命题的等价关系，应用“正难则反”的数学思想，将判断“p?圯q”转化为判断“非q?圯非p”的真假.

例3 (1)判断p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什么条件;

(2) 判断p：x≠3或y≠2是q：x+y≠5的什么条件.

解 (1)原命题等价于判断非q：x+y=5是非p：x=3或y=2的什么条件.

显然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要条件.

(2) 原命题等价于判断非q：x+y=5是非p：x=3且y=2的什么条件.

因为非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分条件.

点评 当命题含有否定词时，可考虑通过逆否命题等价转化判断.

四、 筛选法

用特殊值、举反例进行验证，做出判断，从而简化解题过程.这种方法尤其适合于解选择题.

例4 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是

A. 0

解 利用特殊值验证：当a=0时，x=-，排除A，D;当a=1时，x=-1，排除B.因此选C.

点评 作为选择题，利用筛选法避免了复杂的逻辑推理过程，使解题方法更加优化，节省了时间，提高了解题的速度，因此同学们应该注意解题方法的选择使用.

五、 传递法

充分条件与必要条件具有传递性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn .同样，充要条件也有传递性.对于比较复杂的具有一定连锁关系的条件，两个条件间关系的判断也可用传递法来加以处理.

例5 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

解 由题意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那么可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要条件，故选A.

点评 对于两个以上的较复杂的连锁式条件，利用传递性结合符号“?圯”与“”，画出它们之间的关系结构图进行判断，可以直观快捷地处理问题，使问题得以简单化.

1. 求三个方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根的充要条件.

1. 三个方程均无实根的充要条件是

Δ1=16a2-4(-4a+3)<0，Δ2=(a-1)2-4a2<0，Δ3=4a2-4(-2a)<0。

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