趣味数学：通过彩票学数学

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正文：

趣味数学：通过彩票学数学

在求排列组合时，经常要用到两条原则----加法原则和乘法原则。先看下面的问题： 从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。问从甲地到乙地共有几种走法? 解：因为乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法。

一般地，有如下的原则： 加法原则：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有N=m1十m2十……十mn种不同的方法。

再看下面的问题： 从甲地到丙地必须经过乙地，从甲地到乙地有A，B，C，D四条道路;从乙地到丙地有H，I，J三条道路。问从甲地到丙地共有几种走法? 因为从甲地到乙地有4种走法，而采用每一种走法走到乙地后，又可有3种走法到丙地。所以共有 4*3=12种不同的走法。

一般地，有如下的原则： 乘法原则：完成一件事，有n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，必须通过每一步骤，才算完成这件事，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。

排列(一)

排列的概念

关于排列，我们先看下面的例子：

例：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。第一步，先确定百位上的数字。在1，2，3，4这四个数字中任取一个，共有4种方法;假设我们取3作为百位数。 第二步，确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中1，2，4中去取，共有3种

方法;假设我们取2作为十位数。 第三步，确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取，共有2种方法。 根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2=24 种。就是说，共可以排成24个不同的三位数。

定义1：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。

排列(二)

有重复的排列

上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素，但是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题，所以有必要对此作一下讨论。

在定义前，我们先看一下下面的例子：

例：由1-9这九个数字，共可组成多少个六位数?(每个位置上的数字可以重复) 解：1，先确定十万位上的数字。在1-9这九个数字中任取一个，共有9种方法。 2，确定万位上的数字。在1-9这九个数字中任取一个，还是有9种方法。 3，千位，百位，十位和个位上的数字取法如上，都为9种。 4，根据乘法原理，共有 9×9×9×9×9×9=531441 种取法。

定义2：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素(元素可以重复)，按照一定的顺序排成一列，叫做有重复的排列。

在我们身边，“数字型彩票”就是属于有重复的排列。它的游戏规则大家肯定不会陌生，是从0-9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数，然后从0-4这5个数字中任取1个数字作为特别号码。只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不同，它允许0作为十万位上的数字。

由上述的定义2，不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有

特别号码个数×106 种

即五百万个不同的开奖号码。

排列(四)

排列数计算公式的应用

学习了排列数的计算后，我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题。看一下下面的这两个例子。

例1：红，黄，蓝三种颜色不同的旗，按不同的次序排成一列表示信号，可以单用一面，或两面，三面并用，问一共可以表示多少不同的信号? 解：一面组成的信号有P(1,3)种; 两面组成的信号有P(2,3)种; 三面组成的信号有P(3,3)种。 根据加法原则，得： P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15(种)

例2：有一分，两分，五分的硬币各若干枚。从中挑出1-3枚硬币表示一种代号。可以只用一枚，也可用两枚，也可用三枚，允许重复挑选。问一共有多少种不同的代号? 解：这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决。 一枚表示的代号有31种， 两枚表示的代号有32种， 三枚表示的代号有33种。 根据加法原则，得： 31+32+33=3+9+27=39(种)

定义3：从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P(m,n) 表示。

例如：从5个不同元素中取出3个元素的排列数表示为P(3,5)。求排列数P(m,n)可以这样考虑：设有n个元素m1，m2，...，mn 从其中先任选1个元素排在第一个位置，因为m1，m2，...，mn中任选1个都可以，所以有n种方法;排在第二个位置的元素，是除了选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个，所以有n-1种方法;这样下去，选第三个，第四个......第m个位置的元素的方法，数目分别是n-2,n-3,...,n-(m-1)。根据乘法原则，它们的总数是这m个排列方法的数目的积，即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)。这里m<=n。

这就是说，从n个元素中每次取出m个元素，所有的排列总数等于m个连续自然数的积，其中最大的一个数是n，这个公式叫做排列数公式。当m=n时，叫做n个不同元素的全排列。

排列的概念：

关于排列，我们先看下面的例子：

例：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?

解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。

第一步，先确定百位上的数字。在1，2，3，4这四个数字中任取一个，共有4种方法;假设我们取3作为百位数。

第二步，确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中1，2，4中去取，共有3种方法;假设我们取2作为十位数。

第三步，确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取，共有2种方法。

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2=24 种。就是说，共可以排成24个不同的三位数。

定义1：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。

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